bayangan titik p 1 1 karena transformasi

1 Carilah bayangan sektor. Jawab: Karena maka di dapat . 2.1.4 Contoh Soal. Dimulai dengan transformasi eksponensial. di bawah ! Untuk menunjukkan bahwa , merupakan pemetaan maka diperiksa dua kasus yaitu. menentukan bayangan, di bawah , dari garis mendatar dan penggal garis tegak. 1. Kita akan menentukan bayangan, di bawah , dari garis mendatar . pMalah semakin meninggalkan Palestina KUNCI JAWABAN Matematika Kelas 9 Uji Kompetensi 3 Transformasi Halaman 191-198 Oh ya Aa Apa selanjutnya Kenapa kemudian dalam lima tahun terakhir kita tidak melihat gelombang KUNCI JAWABAN Matematika Kelas 9 Uji Kompetensi 3 Transformasi Halaman 191-198 demo yang begitu besar seperti tahun-tahun sebelumnya Berikutini adalah pembahasan dan Kunci Jawaban Matematika Kelas 9 Semester 1 Halaman 191 - 198. Bab 3 Transformasi Uji Kompetensi 3 Hal 191 - 198 Nomor 1 - 15 Essai. dicerminkan terhadap garis x = 2 menghasilkan bayangan di titik C' (5, 7). dari A ke D adalah (7, -1) b) Titik C c) Kapal Marina Emas. Karena dengan menggunakan teorema b Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya! d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawaban a. Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 Diperoleh1+p = 4 sehingga p =3 2+q = 6 sehingga q = 4 Jadi translasi tersebut adalah T1= Translasi T1 = artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titik-titik A , B , dan C dari segitiga ABC dengan translasi T1, kamu akan memperoleh segitiga A B C sebagai berikut A (1,2) Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Nợ Xấu. Halo, Sobat Zenius! Apakah elo sudah mulai belajar tentang definisi, jenis, dan rumus dari transformasi geometri kelas 11? Elo masih ingat dengan jenis-jenis transformasi kan? Ada translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Kali ini gue akan sharing, bagaimana jenis-jenis tersebut dibawa ke dalam bentuk matriks. Kalau diuraikan tiap katanya, “transformasi” artinya perubahan rupa, dan “geometri” berarti cabang ilmu matematika yang mempelajari sifat garis, sudut, bidang, dan ruang. Jadi, secara umum transformasi geometri adalah perubahan rupa yang dilihat dari garis, sudut, bidang, dan ruang. Contohnya saat elo bercermin, ada diri yang asli dan ada bayangan elo di cermin. Nah, kalau dalam ilmu ini, posisi awal misalnya diri elo saat bercermin adalah x,y, sedangkan posisi akhir diri elo di dalam cermin dinotasikan dengan x’, y’. Contoh aplikasi transformasi geometri dok. Giphy Dalam materi transformasi geometri kelas 11 kali ini, gue nggak akan membahas pengertian dan contoh dari jenis-jenis tersebut secara detail, karena itu udah dibahas di artikel sebelumnya di sini. Matriks TranslasiContoh Soal dan Pembahasan Matriks TranslasiMatriks RefleksiContoh Soal dan Pembahasan Matriks RefleksiMatriks RotasiMatriks Dilatasi Matriks Translasi Translasi atau pergeseran merupakan perpindahan suatu titik sepanjang garis lurus. Jadi, si titik itu hanya digeser atau dipindah tanpa diputar atau mengubah ukurannya. Sama halnya ketika di kelas elo ada aturan geser tempat duduk setiap seminggu sekali. Elo hanya bergeser tempat duduk tanpa mengubah arahーyang awalnya menghadap papan tulis menjadi membelakangi papan tulis, nggak gitu kan konsepnya? Dan ukuran tubuh elo tetap dengan ukuran seperti itu, gak tiba-tiba baru pindah langsung mengecil atau membesar, nggak kan? contoh transformasi geometri translasi dengan matriks Dari gambar di atas, kita bisa tau nih kalau posisi awal elo duduk ditandai dengan A, sedangkan posisi elo di tempat duduk baru ditandai dengan A’ A aksen. Sekarang coba tentukan titiknya dilihat dari garis koordinat di atas. A1,1 → A’1+4,1 = A’5,1 Sekarang kalau duduknya geser ke belakang, selama masih berada pada sepanjang garis lurus, maka tetap dikatakan sebagai translasi. Berarti akan diperoleh hasil pergeseran ke tempat duduk di belakang, yaitu A1,1 → A’1,1+2 = A’1,3 Dari ilustrasi di atas, diperoleh konsep dan rumus dari transformasi geometri dengan matriks translasi yaitu suatu titik Ax,y digeser atau ditranslasi sejauh Ta,bーa kanan-kiri atau b atas-bawahーakan menghasilkan A’x+a, y+b atau A’x’,y’. x’ = x+a y’ = y+b Nah, x’ dan y’ itulah yang akan dibawa ke dalam bentuk matriks. Maka, bentuknya akan seperti berikut ini Matriks translasi Arsip Zenius Sebelum beranjak ke pembahasan contoh soal transformasi geometri kelas 11, gue mau ngasih tahu ke Sobat Zenius, nih, kalau aplikasi Zenius bisa di-download secara gratis, lho! Lewat aplikasi, banyak sekali fitur penunjang yang bantu elo buat belajar lebih produktif lagi. Elo bisa belajar lewat video pembelajaran, ribuan contoh soal dan pembahasannya, hingga ikutan simulasi ujian try out. Gimana? Menarik, kan! Yuk, segera download aplikasinya dengan klik banner di bawah ini! Download Aplikasi Zenius Tingkatin hasil belajar lewat kumpulan video materi dan ribuan contoh soal di Zenius. Maksimalin persiapan elo sekarang juga! Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Translasi Supaya lebih jelas, kita langsung masuk ke contoh soal transformasi geometri kelas 11 dan pembahasannya ya. Perhatikan soal di bawah ini! Contoh Soal 1 Titik A2,3 digeser sejauh T1,2. Tentukan A’! Jawab Jadi, translasi titik A2,3 adalah A’3,5 Contoh Soal 2 Titik A1,3 ditransformasikan terhadap matriks . Tentukan koordinat hasil transformasi titik tersebut! Jawab Jadi, koordinat hasil transformasi titik A adalah A’1,9. Matriks Refleksi Refleksi atau pencerminan merupakan perpindahan yang sifatnya seperti cermin. Coba elo lihat ilustrasi kucing bercermin di awal tulisan ini. Nah, itu salah satu contoh dari refleksi. Atau elo coba perhatikan titik pada garis koordinat di bawah ini! transformasi geometri refleksi dengan matriks Arsip Zenius Refleksi Terhadap Sumbu-X Refleksi terhadap sumbu-x berarti sumbu x adalah cerminnya. Pada ilustrasi di atas, refleksi terhadap sumbu-x digambarkan oleh titik berwarna merah, yaitu A4,3 dengan refleksinya A’4,-3. Jadi, yang berubah adalah y-nya, yang awalnya positif menjadi negatif, begitu pun sebaliknya. x,y → x,-y Kalau dibuat bentuk matriksnya, maka akan menjadi seperti ini Refleksi Terhadap Sumbu-Y Kalau refleksi terhadap sumbu-y, berarti yang menjadi cermin adalah sumbu-y. Pada ilustrasi di atas, refleksi terhadap sumbu-y digambarkan oleh titik berwarna biru, yaitu B-5,5 dengan refleksinya B’5,5. Jadi, yang berubah adalah x-nya, yang awalnya negatif menjadi positif, begitu pun sebaliknya. x,y → -x,y Kalau dibuat bentuk matriksnya, maka akan menjadi seperti ini Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Refleksi Supaya lebih jelas, kita langsung masuk ke contoh soal transformasi geometri kelas 11 dan pembahasannya ya. Perhatikan soal di bawah ini! Contoh Soal 1 Tentukan bayangan titik P1,-3 jika direfleksikan terhadap sumbu-x! Jawab Matriks Rotasi Rotasi atau perputaran merupakan bentuk transformasi geometri dengan cara memutar titik sebesar θ derajat. Ada yang diputar 90°, 180°, 270°, dan θ theta. Dengan catatan bahwa titik pusatnya adalah 0. Supaya elo makin mudah dalam memahami konsep rotasi, coba elo perhatikan ilustrasi berikut ini. transformasi geometri dengan matriks rotasi Arsip Zenius Matriks Rotasi 90° x,y → -y,x Matriks Rotasi 180° x,y → -x,-y Matriks Rotasi 180° x,y → y,-x Matriks Rotasi Theta Lalu, gimana kalau ada titik yang mau dirotasi, tapi gak diketahui derajat pastinya? Elo bisa menggunakan konsep matriks rotasi theta dengan rumus sebagai berikut. Kalau elo masih bingung mengenai rumus yang satu ini, elo bisa langsung nonton video materi Zenius tentang Matriks Rotasi Theta. Tenang, karena elo bisa mengakses videonya secara GRATIS di website atau Aplikasi Zenius. Syaratnya elo harus punya akun Zenius terlebih dahulu. Ini dia cuplikannya Cuplikan matriks rotasi theta transformasi geometri Arsip Zenius Matriks Dilatasi Dilatasi atau perkalian merupakan perubahan ukuran suatu titik atau objek. Pada matriks dilatasi dengan faktor skala k dan pusat 0, kita bisa ambil contoh suatu titik A2,3, kemudian didilatasi dengan skala k=2 dan akan menghasilkan bayangan x’y’. Maka, dapat menentukannya dengan cara di bawah ini lihat titik warna merah. transformasi geometri dengan matriks dilatasi Hasil bayangan dari titik A2,3 adalah A’4,6. Sama aja kalau elo mau mengubah skala k-nya menjadi k=3, berarti elo tinggal kalikan titik A dengan skala k=3 menjadi A’6,9. Sekarang gimana kalau skalanya negatif? Gampang, elo tinggal kalikan aja. Contohnya bisa elo lihat pada gambar di atas lihat titik warna biru. Di situ ada titik B3,1 dengan skala k=-2, dari situ elo kalikan aja titik A dengan skala k. Hasil bayangan titik tersebut adalah B’-6,-2. Dari contoh ilustrasi di atas, kita bisa menuliskan rumusnya menjadi seperti ini. x’,y’ → kx, ky Lalu, bagaimana dengan matriks dilatasi dengan faktor skala k dan pusat a,b. Coba elo perhatikan ilustrasi di bawah ini! Matriks Dilatasi Arsip Zenius Kalau sebelumnya kita menghitung dilatasi dari pusat 0, sekarang kita menghitungnya dari pusat a,b. Sehingga, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut ***** Demikian artikel mengenai materi transformasi geometri kelas 11 beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga setelah ini Sobat Zenius jadi semakin memahami materi yang satu ini, ya! Nah, buat elo yang lebih suka belajar melalui video pembelajaran, elo bisa banget, nih, belajar melalui Zenius. Video pembelajaran dari Zenius dibawakan oleh tutor-tutor yang terpercaya sehingga materinya pun dikemas dengan baik dan menarik. Bagi Sobat Zenius yang ingin belajar lewat video pembelajaran, khususnya mengenai materi di atas, elo bisa banget tinggal klik banner di bawah ini, ya! Lalu, buat elo yang tertarik untuk terus mengasah otak dengan contoh soal, elo juga bisa langsung berlangganan lewat paket belajar Aktiva Sekolah dari Zenius, lho! Dengan berlangganan paket tersebut, elo bisa mengakses ribuan contoh soal dari semua mata pelajaran beserta pembahasannya. Elo juga bisa belajar langsung bareng tutor-tutor Zenius yang berpengalaman dan bisa bantu ningkatin nilai rapor elo, makin paham materi sekolah dan bisa akses latihan soal & try out. Bahkan, elo juga punya kemungkinan buat ikut 4x ujian try out, lho! Menarik, kan? Klik banner di bawah ini buat berlangganan langsung, ya! Klik banner di atas untuk berlangganan Baca Juga Artikel Lainnya Aplikasi Integral Cara Menghitung Volume Benda Aplikasi Integral Cara Menghitung Integral Luas Apa itu Dimensi Tiga Definisi, Rumus, Jarak, dan Sudut Originally Published November 18, 2021Updated By Arieni Mayesha & Maulana Adieb Create successful ePaper yourself Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software. More documents Recommendations Info Soal Transformasi 1. Titik P’10,h adalah bayangan titik Pa,- 6 pada translasi 3 yang dilanjutkan dengan 2 translasi 1 . Nilai a dan h adalah... 5 A. a = 12 dan h = 13 B. a = - 12 dan h = 13 C. a = 8 dan h = - 1 D. a = 8 dan h = 1 2. Diketahui persegi panjang PQRS dengan koordinat titik P– 5, – 1,Q3, – 1 dan R3,8. 2 Bayangan S karena translasi adalah... 3 A. – 7,11 B. – 7,5 C. – 3,11 D. –3,5 3. Titik P- 2,1 dicerminkan terhadap garis x = 1, kemudian ditranslasikan dengan 2 . 2 Koordinat bayangan akhir dari titik P adalah… A. 2,-1 B. 2,3 C. 6,-1 D. 6,3 4. Pada pencerminan terhadap garis x = 6, kemudian dilanjutkan dengan translasi 3 – 9, koordinat bayangan titik 4, – 2 adalah … A. 7,7 B. 7, – 21 C. 11, – 7 D. 11, – 11 5. Bayangan titik A 2,-6 oleh rotasi dengan pusat O0,0 sejauh – 90 o adalah A I . Koordinat A I adalah… A. -6,2 B. -6,-2 C. -2,6 D. 2,6 Delete template? Are you sure you want to delete your template? Save as template? PembahasanIngat kembali rumus berikut Transformasi geometri dengan suatu matriks M transformasi A x , y M ​ A ′ x ′ , y ′ x ′ y ′ ​ = a c ​ b d ​ â‹… x y ​ Berdasarkan rumus transformasi di atas, maka nilai dan b dapat ditentukan sebagai berikut 4 − 6 ​ 4 − 6 ​ ​ = = = ​ P a + 1 , 2 b + 2 M ​ P ′ 4 , − 6 1 0 ​ 0 − 1 ​ â‹… a + 1 2 b + 2 ​ a + 1 + 0 0 + − 1 2 b + 2 ​ a + 1 − 2 b − 2 ​ ​ Sehingga diperoleh a + 1 a + 1 − 1 a − 2 b − 2 − 2 b − 2 + 2 − 2 b − 2 − 2 b ​ b ​ = = = = = = = = ​ 4 4 − 1 3 6 6 + 2 8 − 2 8 ​ − 4 ​ Dengan demikian,nilai dan b pada soal tersebut adalah a = 3 dan b = − kembali rumus berikut Transformasi geometri dengan suatu matriks transformasi Berdasarkan rumus transformasi di atas, maka nilai dan dapat ditentukan sebagai berikut Sehingga diperoleh Dengan demikian, nilai dan pada soal tersebut adalah Hallo adik-adik.. ketemu lagi sama kakak... hari ini kita akan belajar tentang transformasi.. cekidot..Haii.. kalian juga bisa pelajari materi ini di chanel youtube ajar hitung lho.. yuk klik video di bawah ini jika kalian mau belajar lewat video 1. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah... a. y + 2x – 3 = 0 b. y – 2x – 3 = 0 c. 2y + x – 3 = 0 d. 2y – x – 3 = 0 e. 2y + x + 3 = 0 PEMBAHASAN Kalian catat rumusnya ya - Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah - Matriks refleksi terhadap garis y = -x adalah Mari kita kerjakan soal di atas Pada soal di atas diketahui bahwa garis y = 2x – 3 di refleksikan terhadap garis y = -x, berarti T1 = dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = x berarti T2 = Maka, transformasinya adalah Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x – 3 atau y – 2x - 3 = 0 JAWABAN B 2. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks , kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ... a. x + y – 3 = 0 b. x – y – 3 = 0 c. x + y + 3 = 0 d. 3x + y + 1 = 0 e. x + 3y + 1 = 0 PEMBAHASAN Di stabillo nih rumusnya dik adik... - matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah - Transformasi T1 lalu dilanjutkan transformasi T2 maka matriks transformasinya adalah T2 o T1 Yuks... kita kerjain Pada soal diketahui T1 = dan T2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, berarti T2 = Sehingga matriks transformasinya Dari hasil transformasi di atas didapatkan x’ = x + 2y x = x’ – 2y dan y’ = -y y = -y’ Maka kurva y = x + 1 memiliki bayangan -y’ = x’ - 2y + 1 -y’ = x’ - 2y + 1 -y’ = x’ - 2-y’ + 1 -y’ = x’ + 2y’ + 1 x’ + 3y’ + 1 = 0 atau x + 3y + 1 = 0 JAWABAN E 3. Jika transformasi T1, memetakan x, y ke -y, x dan transformasi T2 menyatakan x, y ke -y, -x dan jika transformasi T merupakan transformasi T1 yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah ... PEMBAHASAN Yuks dicatat rumusnya dik adik Rotasi +900 yang berpusat di titik O0, 0 memiliki matriks - T1 merupakan rotasi +900 dengan pusat O0,0 maka matriksnya adalah - T2 merupakan pencerminan y = -x, maka matriksnya JAWABAN C 4. Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika di rotasi dengan pusat O 0, 0 sejauh 900dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O 0, 0 dan faktor skala 3 adalah ... a. x = 3y2 – 3y b. x = y2 + 3y c. x = y2 + 3y d. y = 3x2 – 3x e. y = x2 + 3y PEMBAHASAN Rumusnya boleh lho dicatat dibuku kalian dek - Rotasi dengan pusat O0, 0 sejauh 900 memiliki matriks - Dilatasi dengan pusat O0, 0 dan faktor skala 3 memiliki matriks T1 = dan T2 = T2 o T1 = Maka matriks transformasinya adalah Dari matriks transformasi di atas didapatkan x’ = -3y, maka y = -1/3 x’ dan y’ = 3x, maka x = 1/3y’ Jadi, bayangan kurva y = 3x – 9x2 menjadi y = 3x – 9x2 -1/3x’ = 31/3y’ – 91/3y’2 -1/3x’ = y’ - y’2hasil perkalian 3 -x’ = 3y’ – 3y’2x’ = 3y2 – 3y’ hasil perkalian - Jadi, bayangannya adalah x = 3y2 – 3y JAWABAN A 5. Transformasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90^0 terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai... PEMBAHASAN Yuk diingat lagi rumusnya... Pada soal di atas T1 adalah rotasi 900dengan pusat O 0, 0, makanya matriksnya Sedangkan T2 adalah pencerminan terhadap garis y = x, makanya memiliki matriks T2 o T1 = JAWABAN B 6. Persamaan bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 oleh rotasi 0, 900 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x adalah ... a. 5y + 2x + 10 = 0 b. 5y – 2x – 10 = 0 c. 2y + 5x +10 = 0 d. 2y + 5x – 10 = 0 e. 2y – 5x + 10 = 0 PEMBAHASAN T1 adalah rotasi dengan pusat O 0, 0, memiliki matriks T2 adalah refleksi terhadap garis y = -x, memiliki matriks T2 o T1 = Maka Dari transformasi di atas, didapatkan x’ = -x, sehingga x = -x’ y’ = y, sehingga y = y’ Jadi, bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 adalah 2y – 5x – 10 = 0 2y’ – 5-x’ – 10 = 0 2y’ + 5x’ – 10 = 0 atau 2y + 5x – 10 = 0 JAWABAN D 7. Diketahui translasi Titik-titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T1 o T2. Jika A-1, 2, A’1, 11, dan B’12, 13 maka koordinat titik B adalah... a. 9, 4 b. 10, 4 c. 14, 4 d. 10, -4 e. 14, -4 PEMBAHASAN Titik A-1, 2 memiliki bayangan A’1, 11 maka 2 + a = 1 a = -1 dan 4 + b = 11 b = 7 Titik Bx, y memiliki bayangan B’12, 13, maka x = 10 dan y + 9 = 13 y = 4 Jadi, koordinat titik B adalah 10, 4 JAWABAN B 8. Elips dengan persamaan kemudian diputar 900 dengan pusat -1, 2. Persamaan bayangan elips tersebut adalah ... PEMBAHASAN Matriks rotasi 900 adalah x, y digeser sejauh didapatkan Sehingga didapatkan x’ = x – 1 dan y’ = y + 2 Bayangan x dan y diputar 90 derajat dengan pusat -1, 2, maka Sehingga didapatkan x’’ + 1 = -y’ + 2 x’’ + 1 = -y + 2 + 2 x’’ + 1 = -y y = -x’’ – 1 = -x’’ + 1 dan y’’ – 2 = x’ + 1 y’’ – 2 = x – 1 + 1 y’’ – 2 = x x = y’’ – 2 Sehingga bayangan dari elips 4x2 + 9y2 = 36 adalah JAWABAN D 9. Titik Px, y ditransformasikan oleh matriks . Bayangannya ditransformasikan oleh matriks . Bayangan titik P adalah ... a. -x, -y b. -x, y c. x, -y d. -y, x e. -y, -x PEMBAHASAN Pada soal diketahui T1 = T2 = Maka transformasi matriksnya Jadi, bayangan titik Px, y adalah Sehingga didapatkan x’ = -y, maka y = -x’ y’ = -x, maka x = -y’ Jadi, bayangannya P’-y’, -x’ JAWABAN E 10. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks . Bayangan Am, n oleh transformasi T1 o T2 adalah A’-9, 7. Nilai m + n adalah ... a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 PEMBAHASAN Karena bayangan A’-9, 7, maka Sehingga didapatkan persamaan -x – 3y = -9 .... i, dan -5x + 11y = 7 ... ii Kita eliminasi i dan ii yuks Subtitusikan y = 2, dalam persamaan –x – 3y = -9 -x – 3y = -9 -x – 32 = -9 -x – 6 = -9 x = 3 Karena titik Am, n = 3, 2, maka nilai m + n = 3 + 2 = 5 JAWABAN B 11. Oleh matriks A = titik P1,2 dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P’2, 3 dan Q’2, 0. Koordinat titik Q adalah ...a. 1, -1b. -1, 1c. 1, 1d. 2, -1e. 1, 0PEMBAHASANOleh matriks A = titik P1,2 memiliki bayangan P’2, 3, makaSehingga diperoleh3a + 2 = 23a = 0a = 0Karena a = 0, maka matriks A menjadi Titik Q ditransformasikan oleh matriks A, didapatkan bayangan Q’2, 0, maka titik Q adalahSehingga kita dapatkan2x = 2x = 1dan x + y = 01 + y = 0y = -1Maka titik Q adalah 1, -1JAWABAN A 12. Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks . Persamaan bayangan garis itu adalah ...a. 3x + 2y – 3 = 0b. 3x - 2y – 3 = 0c. 3x + 2y + 3 = 0d. -x + y + 3 = 0e. x - y + 3 = 0PEMBAHASANYuks kita cari dulu sembarang titik yang melalui garis x – 2y + 3 = 0Misalkan x = 1, maka 1 – 2y + 3 = 0 ==> -2y = -4, ==> y = 2 maka titiknya 1, 2Misalkan x = 3, maka 3 – 2y + 3 = 0, ==> -2y = -6 ==> y = 3 maka titiknya 3, 3Selanjutnya kita cari bayangan titik A1, 2Bayangan titik A1, 2 adalah A’-5, -8Selanjutnya bayangan titik B3, 3Bayangan titik B3, 3 adalah B’-6, -9Selanjutnya kita cari persamaan garis bayangannya, yaitu garis yang melalui titik A’-5, -8 dan B’-6, -9.Masih ingatkah kalian rumus mencari persamaan garis yang melalui 2 titik? Yuk untuk mengingatkannya kalian boleh lihat disini -y – 8 = -x – 5x – y = -5 + 8x – y = 3ataux – y – 3 = 0atau-x + y + 3 = 0JAWABAN D 13. Bayangan titik Ax, y karena refleksi terhadap garis x = -2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut phi/2 radian adalah -4, 6. Koordinat titik A adalah ...a. 2, -10b. 2, 10c. 10, 2d. -10, 2e. 10, 2PEMBAHASANMaka-6 – y = -4y = -4 + 6y = 2dan-4 – x = 6x = -10Maka koordinat bayangan A adalah -10, 2JAWABAN D 14. Ditentukan matriks transformasi . Hasil transformasi titik 2, -1 terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah ...a. -4, 3b. -3, 4c. 3, 4d. 4, 3e. 3, -4PEMBAHASANJadi, bayangan titik 2, -1 adalahBayangan dari titik itu adalah titik -4, 3JAWABAN A 15. Sebuah lingkaran dengan pusat P3, 2 dan jari-jari 5 dirotasikan R0, 90^0 kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah...a. x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0b. x2 + y2 - 4x - 6y – 12 = 0c. x2 + y2 - 4x + 6y – 12 = 0d. x2 + y2 + 6x + 4y – 12 = 0e. x2 + y2 + 6x - 4y – 12 = 0PEMBAHASANDalam hal ini, lingkaran jika dirotasi atau dicerminkan tidak akan mengubah panjang persamaan lingkaran berjari-jari 5 tidak berubah dan memiliki titik pusat -2, -3 adalahIngat rumusnya ya dik adikJAWABAN A 16. Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks . Persamaan bayangannya adalah ...a. x – 2y + 4 = 0b. x + 2y + 4 = 0c. x + 4y + 4 = 0d. y + 4 = 0e. x + 4 = 0PEMBAHASANDari soal kita ketahu bahwa T1 adalah pencerminan terhadap garis y = x, memiliki matriks dan T2 adalah , maka matriks tansformasinya adalahKita cari bayangan x dan y dulu yaSehingga kita dapatkanx’ = 2x + y dan y’ = xBayangan garis 2x + y + 4 = 0 adalah2x + y + 4 = 0x’ + 4 = 0 atau x + 4 = 0JAWABAN E 17. Titik Ax, 12 ditranslasikan secara berurutan oleh T1 = -3, 7, T2 = 2, 3 dan T3 = 4, -1 sehingga menghasilkan bayangan A’8, y. Nilai-nilai x dan y adalah ...a. -5 dan 21b. 5 dan -21c. 5 dan 21d. -21 dan 5e. -21 dan -5PEMBAHASANKita perolehx + 3 = 8x = 5Dan y = 21JAWABAN C 18. Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R 0, 900. Persamaan bayangannya adalah...a. x – 2y – 3 = 0b. x + 2y – 3 = 0c. 2x – y – 3 = 0d. 2x + y – 3 = 0e. 2x + y + 3 = 0PEMBAHASANT1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, memiliki matriks dan T2 adalah rotasi 90 derajat, memiliki matriks . MakaSehingga bayangan x dan y nya adalahKita peroleh x’ = y atau y = x’dany’ = x atau x = y’Sehingga bayangan dari persamaan y = 2x + 3 adalahy = 2x + 3x’ = 2y’ + 32y’ - x’ + 3 = 0ataux – 2y – 3 = 0JAWABAN A 19. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O0, 0 sejauh +900, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah ...a. x + 2y + 4 = 0b. x + 2y - 4 = 0c. 2x + y + 4 = 0d. 2x - y - 4 = 0e. 2x + y - 4 = 0PEMBAHASANT1 adalah rotasi dengan pusat O0, 0 sejauh +900, sehingga memiliki matriks dan T2 pencerminan terhadap garis y = x, sehingga memiliki matriks Selanjutnya kita cari bayangan x dan yKita dapatkan x’ = x dan y’ = -yJadi, bayangan x – 2y + 4 = 0 adalahx – 2y + 4 = 0x’ – 2-y’ + 4 = 0x’ + 2y’ + 4 = 0ataux + 2y + 4 = 0JAWABAN A 20. Bayangan kurva y = sin x oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O0, 0 dan faktor skala ½ adalah kurva ...a. sin 2xb. y = ½ sin xc. y = sin x cos xd. y = -sin x cos xe. y = -sin 2xPEMBAHASANJadi, bayangan x dan y adalahx’ = ½ x, sehingga x = 2x’y’ = - ½ y sehingga y = -2y’Maka bayangan dari y = sinx adalah-2y’ = sin 2x’y’ = - ½ sin 2xy’ = - ½ x’ . cos x’y’ = - sinx’.cosx’atauy = -sinx . cosxJAWABAN D 21. Jika titik a, b dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai dengan matriks menghasilkan titik 1, -8 maka nilai a + b = ...a. -3b. -2c. -1d. 1e. 2PEMBAHASANT1 adalah pencerminan terhadap sumbu y, sehingga memiliki matriks dan T2 = Selanjutnya kita cari a dan bSehingga kita peroleh2a + b = 1 dan,-a + 2b = -8Yuk kita eliminasikan kedua persamaan di atas untuk mencari nilai a dan bSubtitusikan a = 2, dalam persamaan 2a + b = 12a + b = 122 + b = 14 + b = 1b = 1 – 4b = -3Maka, nilai a + b = 2 + -3 = -1JAWABAN C 22. Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi 900 berlawanan arah jarum jam dengan pusat O adalah ...PEMBAHASANT1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, sehingga memiliki matriks dan T2 adalah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, sehingga memiliki matriks JAWABAN C Sekian dulu belajar transformasi bersama kakak... Ingat pesan kakakya, kita ga tau akan jadi seperti apa di masa depan. Yang bisa kita lakukan adalah berusaha melakukan yang terbaik di saat ini... Hai Quipperian, sebelum berangkat sekolah, pasti kamu bercermin dulu kan? Tahukah kamu jika pada cermin berlaku peristiwa refleksi atau pemantulan, lho. Jarak antara bayangan dan cermin pasti akan sama dengan jarakmu dan cermin. Tidak percaya, cobalah untuk menjauh dari cermin, pasti bayangan yang terlihat akan semakin kecil. Nah, di dalam Matematika, peristiwa refleksi ini termasuk salah satu transformasi geometri. Lalu, apa yang dimaksud transformasi geometri? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya! Pengertian Transformasi Geometri Transformasi berarti perubahan dan geometri berkaitan dengan suatu bangun, garis, titik, dan pengukurannya. Transformasi geometri adalah perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik, maupun kurva. Oleh karena berkaitan dengan garis dan titik, maka transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks. Contoh transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah saat kamu bercermin dan bayanganmu terlihat jelas pada cermin tersebut. Jenis-Jenis Transformasi Geometri Transformasi geometri dibagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Apa perbedaan keempat jenis transformasi tersebut? Berikut ini ulasannya! Translasi Translasi adalah perpindahan posisi suatu objek. Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, translasi merupakan perpindahan titik-titik koordinat suatu objek ke arah dan jarak tertentu. Pada peristiwa translasi ini, ukuran objek tidak mengalami perubahan ya. Persamaan umum translasi Jika titik P yang memiliki koordinat x, y ditranslasikan sejauh a, b, akan dihasilkan titik P’ dengan koordinat x’, y’. Secara matematis, koordinat akhir pada proses translasi dinyatakan sebagai berikut. Dengan Px, y = koordinat titik awalnya; a = pergeseran pada sumbu-x; b = pergeseran pada sumbu-y; dan Px+a, y+b = koordinat akhir setelah pergeseran. Contoh translasi Jika pergeseran mengarah ke sumbu-x positif atau sumbu-y positif, maka pergeserannya bertanda positif. Sebaliknya, jika pergeserannya mengarah ke sumbu-x negatif atau sumbu-x negatif, maka pergeserannya bertanda negatif. Adapun contoh translasi bisa kamu lihat pada gambar berikut. Gambar di atas menunjukkan bahwa suatu bangun persegi ABCD mengalami translasi atau pergeseran hingga berada di posisi persegi A’B’C’D’. Lalu, berapakah pergeseran atau perpindahan bangunnya? Untuk tahu jumlah pergeserannya, coba hitung jarak satuan antara bangun ABCD dan A’B’C’D ke arah sumbu-x dan sumbu-y. Dari hasil pengamatan, diperoleh bahwa bangun persegi ABCD bergeser 5 satuan ke arah sumbu-x positif a = 5 dan 5 satuan ke arah sumbu-y negatif b = -5. Setelah tahu pergeserannya, tentukan dahulu koordinat awal setiap titik pada persegi seperti berikut. Koordinat A = -3,4 Koordinat B = -1, 4 Koordinat C = -3, 2 Koordinat D = -1, 2 Terakhir, tentukan koordinat akhir persegi tersebut menggunakan persamaan translasi. Koordinat akhir bangun persegi A’B’C’D’. Ternyata, diperoleh koordinat akhir yang sama kan dengan gambar? Sebenarnya, kamu bisa langsung mengetahui koordinat akhir melalui gambarnya. Namun, pada kesempatan ini Quipper Blog ingin menunjukkan aplikasi persamaan translasi pada soal. Nah, jika kamu menjumpai soal-soal translasi, gunakan persamaan tersebut untuk menentukan titik koordinat akhir suatu objek. Refleksi Refleksi atau pencerminan adalah perpindahan titik suatu objek pada bidang sesuai dengan sifat pembentukan bayangan pada cermin datar. Pada prinsipnya, refleksi hampir sama dengan translasi, yaitu pergeseran. Hanya saja, pada refleksi memiliki sifat-sifat tertentu sedemikian sehingga posisi akhir objeknya merupakan hasil pencerminan objek awalnya. Sifat-sifat refleksi Oleh karena pembentukan bayangan pada refleksi sama dengan pembentukan bayangan cermin, maka sifat-sifatnya pun juga sama dengan sifat-sifat bayangan cermin. Adapun sifat-sifat refleksi atau pencerminan adalah sebagai berikut. Jarak antara titik awal objek ke cermin sama dengan jarak titik akhir objek ke cermin. Garis penghubung antara objek awal dan akhirnya selalu tegak lurus cermin. Jika dicerminkan terhadap sumbu-x, maka garis penghubungnya tegak lurus terhadap sumbu-x. Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, garis penghubungnya juga tegak lurus terhadap sumbu-y. Sumbu-x atau sumbu-y dianalogikan sebagai cermin atau pusat refleksi. Persamaan umum refleksi Refleksi bisa dilakukan terhadap sumbu-x maupun sumbu-y. Pada refleksi ini, sumbu-x atau sumbu-y bisa dianalogikan sebagai cermin. Persamaan umum refleksi dinyatakan sebagai berikut. Refleksi terhadap sumbu-x Jika direfleksikan terhadap sumbu-x, maka koordinat y’ merupakan lawan dari koordinat y dengan koordinat x tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut. Dengan Px, y = titik koordinat awal P’x, -y = titik koordinat akhir Mx = matriks pencerminan terhadap sumbu-x Refleksi terhadap sumbu-y Jika direfleksikan terhadap sumbu-y, maka koordinat x’ merupakan lawan dari koordinat x dengan koordinat y tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut. Dengan Px, y = titik koordinat awal P’-x, y = titik koordinat akhir My = matriks pencerminan terhadap sumbu-y Selain direfleksikan terhadap sumbu-x dan sumbu-y, suatu objek juga bisa direfleksikan terhadap garis, meliputi refleksi terhadap garis y = x, garis y = -x, garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini pembahasannya. Refleksi terhadap garis y = x Jika suatu titik P dengan koordinat x, y direfleksikan terhadap garis y = x akan dihasilkan koordinat P’ y, x. Perhatikan gambar berikut. Refleksi terhadap garis y = -x Jika suatu titik P dengan koordinat x, y direfleksikan terhadap garis y = -x akan dihasilkan koordinat P’ -y, -x. Adapun contoh refleksi terhadap garis y = -x bisa kamu lihat pada contoh berikut. Refleksi terhadap garis x = h Jika titik P dengan koordinat x, y direfleksikan terhadap garis x = h akan dihasilkan koordinat P’ 2h – x, y. Perhatikan gambar berikut. Refleksi terhadap garis y = k Refleksi titik P x, y terhadap garis y = x akan menghasilkan koordinat P’ x, 2k – y. Perhatikan gambar refleksi berikut. Contoh refleksi Berikut ini merupakan contoh segitiga siku-siku ABC yang direfleksikan terhadap sumbu-y. Artinya, sumbu-y dianggap sebagai cermin atau pusat refleksinya. Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, maka koordinat x, y menjadi -x, y. Untuk membuktikannya, gunakan persamaan refleksi seperti berikut. Koordinat titik A = -4, 4 Koordinat titik B = -4, 1 Koordinat titik C = -2, 1 Hasil yang diperoleh dari persamaan di atas sesuai dengan hasil pencerminan pada koordinat Cartesius, kan? Rotasi Rotasi identik dengan perputaran suatu benda. Sebenarnya, apa rotasi dalam Matematika itu? Rotasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek pada bidang geometri dengan cara memutarnya sejauh sudut α. Oleh karena rotasi termasuk perpindahan, maka arah rotasi mempengaruhi tanda sudutnya. Jika arah rotasi searah dengan putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif. Sementara itu, jika arah rotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif. Secara matematis, rotasi dilambanganya sebagai RP, α, dengan P = pusat rotasi dan α = besarnya sudut rotasi. Secara umum, rotasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut. Rotasi terhadap titik pusat 0, 0 Rotasi terhadap titik pusat 0, 0 bisa kamu lihat pada contoh berikut. Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat 0, 0, hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat dinyatakan sebagai berikut. Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat 0,0, gunakan persamaan matriks berikut. Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut. Jika titik M berada di koordinat 4, -2, lalu titik tersebut dirotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o terhadap titik pusat 0, 0, tentukan letak bayangannya! Pembahasan Titik M dirotasi sejauh 90o berlawanan dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat 0, 0. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut. Tugas Quipperian adalah menentukan koordinat x’, y’. Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut. Jadi koordinat M’ = 2, 4. Rotasi terhadap titik pusat a, b Rotasi tidak harus berpusat di titik 0, 0. Berikut ini merupakan contoh titik yang dirotasi dengan pusat a, b. Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat 2, 1, hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat a, b dinyatakan sebagai berikut. Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat a, b, gunakan persamaan matriks berikut. Dilatasi Dilatasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek terhadap titik tertentu berdasarkan faktor pengali. Oleh karena ada faktor pengali, maka peristiwa dilatasi ini bisa mengakibatkan perubahan ukuran objek, misalnya diperbesar, diperkecil, atau tetap. Adapun hubungan antara faktor pengali dan ukuran benda adalah sebagai berikut. Faktor pengali k > 1 akan mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya. Faktor pengali k = 1 tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi objek. Faktor pengali 0 < k < 1 mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan searah dengan sudut dilatasi awalnya. Faktor pengali -1 < k < 0 mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Faktor pengali k = -1 tidak mengakibatkan perubahan ukuran objek, namun arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Faktor pengali k < – 1 mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Secara umum, dilatasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut. Dilatasi terhadap titik pusat 0, 0 Jika suatu titik M x, y mengalami dilatasi terhadap titik pusat 0, 0 dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ x’. y’. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut. Titik koordinat M’x’, y’ bisa ditentukan dengan rumus berikut. Contoh dilatasi terhadap titik pusat 0, 0 adalah sebagai berikut. Diketahui gambar persegi ABCD pada koordinat Cartesius seperti berikut. Jika bangun tersebut didilatasi terhadap titik pusat 0,0 dan faktor pengali -2, tentukan hasil bayangannya! Pembahasan Mula-mula, tentukan dahulu koordinat akhir setiap titik pada bangun setelah didilatasi. Titik A’ → A 1, 2 Dengan demikian, A’ -2, -4. Titik B’ → B 2, 2 Dengan demikian, B’ -4, -4. Titik C’ → C 1, 1 Dengan demikian, C’ -2, -2. Titik D’ → D 2, 1 Dengan demikian, D’ -4, -2 Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, menjadi seperti berikut. Di soal tertulis bahwa faktor pengalinya = -2. Artinya, ukuran objek akan semakin besar dan arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Bagaimana tahu jika arahnya berlawanan? Coba perhatikan kembali letak titik A’, B’, C’, dan D’. Letak keempat titik itu berlawanan dengan letak titik awalnya, yaitu A, B, C, dan D. Dilatasi terhadap titik pusat a, b Jika dilatasi titik koordinat M x, y dilakukan terhadap titik pusat a, b dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ x’. y’. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut. Titik koordinat M’x’, y’ bisa ditentukan dengan rumus berikut. Ukuran dan bentuk objek setelah didilatasi bergantung sepenuhnya pada faktor pengali, ya. Contoh Soal Transformasi Geometri Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak contoh soal berikut. Contoh Soal 1 Jika titik G 2, 5 dicerminkan terhadap garis y = -x, tentukan letak bayangan titik G! Pembahasan Secara matematis, pencerminan titik G bisa dinyatakan sebagai berikut. Untuk menentukan koordinat G’, gunakan persamaan berikut. Jadi, koordinat G’ = -5, -2. Contoh Soal 2 Diketahui gambar titik H seperti berikut. Jika titik H dirotasikan sejauh 180o terhadap titik pusat 0, 0, gambarkan posisi akhir titik H’! Pembahasan Berdasarkan gambar pada soal, titik H berada di koordinat 1, 3. Dengan demikian Tugas Quipperian adalah menentukan koordinat x’, y’. Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut. Diperoleh letak koordinat titik H’ -1, -3. Jika digambarkan, menjadi seperti berikut. Contoh Soal 3 Titik B 2, -1 didilatasi terhadap pusat 4, 2. Jika faktor pengalinya 2, tentukan koordinat akhir titik B! Pembahasan Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut. Titik koordinat B’x’, y’ bisa ditentukan dengan rumus berikut. Jadi, koordinat B’ = 0, -4 Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

bayangan titik p 1 1 karena transformasi